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Q  OX3Y1 P A" OX3Y1,>6C@ OX3Y2J?T Q ^ OX1Y2h P 1,}rA| OX2Y2D 3,> Q  OX2Y1 P A OX3Y2 P D 3 '  QX3Y31-}X;&X;0 ADD :Q DN N FGLEICHX Q b R lDK2vHK1 Q  R DK2HK1 Q 1.} R EK1K2Q P ; Q  S  P   Q  S   P * Q 4 S >1/} P H !EXMADDRK1\;f Q p S z P  Q  S  P  Q  S  P  !10}EXMADD GLEICH, Q  O  P  Q  O  P  Q $ O . P 8 EXMADDB L11} X;V ADD1 ` Q j N t FGLEICH~ Q  R  DK2 HK1 Q  R  DK2 HK1 Q  R 12} DK2 HK1 Q  R  EK1 K2 Q ( P 2 ;< Q F S P P Z Q d S n P 13}x Q  S  P  Q  S  P  !EXMADD K1 Q  ; Q  S  P  Q 14} S  P  Q " S , P 6 Q @ S J P T !EXMADD^ GLEICHh Q r ,| Q 15} O  P  Q  O  P  Q  O  P  Q  O  P  EXMADD 16} X; X; MOVE & $>0 MOVELP: Q 9D P 9N 0X IMOVELPb l X;v SQUARE Q  > M> L> PLL17}11 L> PLH11 PLH10 QM16LIS9 L>` PHL11 L> PHH11 PHH10 X; Q  >* M>418} L>> PLL21H PLL22R L>\ PLH21f PLH22p QM16LIS9z L>` PHL21 PHL22 L> PHH21 19} PHH22 X; Q  > M> L> PLL31 L> PLH31 QM16LIS9L>` PHL31$L>. PHH3181:}X;B,L % VQ8`LL11jO8tHL11~ PX1Y3Q8LH11O8HH11 PX1Y3X;Q8LL211;}O8HL21 PX2Y3Q8LH21 O8HH21 PX2Y3(X;2Q8<LL31FO8PHL31Z PX3Y3dQ8n1<}LH31xO8HH31 PX3Y3X; % Q8LH10O8HH10 PX1Y2Q8LL22O8HL221=} PX2Y2Q8LH22"O8,HH226 PX2Y2@X;J QX1Y2TT?^ P h QX1Y3rU?|> QX2Y3U?1>}? Q  OX1Y3 P A OX2Y2>C OX3Y3? Q  OX1Y3 P A& OX2Y30>:CDO>N1?}?X Q b OX2Y2l P vA OX2Y3 P CO> P  QX3Y3A& OX2Y30>:CDO>N0\Oż0c` \~c?aγ5Ϳq)5A}os8?-^~sx෯]/Ա5B}Lܰ|?oZU0},}_qe5C}/ =/?_1N8>9lnZ8xem5D}cp? r'?Ns?G'|X??_[`5E}?8?9_`p#?8#wWx>~8x5F}]^ذ09??5H}p8͸AY߀1SO'O~<9}C5I}@y?p0~oc#/O_g?5J} c?9s>_?xcx7`JW~a~g< ?ǟ5K}p0?#ve|s8/7a3>78>c5L}eOW@yC[w:9_GÙ]?O~5M}ؕ? ^Oˏ?+XGci5N}G2#~\Ƀ8_g>5O}~N''#<??c? 0/$G5P}?q'ر?0G?>I5Q}sN}8?? 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Z?m> ;2?+oU/:w5}~zg?oG}Q?_sGsc8~5}:_?H? =7 -11-11250.25-0.6733011540sc8~4a12 4 1 5 0 10 70 2 12 1441FRACTAL EXPRESS - EIN SCHNELLES UND VIELSEITIGES FRACTAL-PROGRAMMSp testens seit Spi9}elen wie RESCUE ON FRACTALUS interessiert sich jeder Computerbesitzer f r Fractals, und besonders f r deren Anwendung in 3 Di9}mensionen. Fractals - sie spiegeln die Struktur des realen Universums wieder mit ihren unberechenbaren, niemals endenden Verz9}weigungen und den sich st ndig wiederholenden Mustern, die sich doch niemals genau gleichen.Nur eins ist an diesen bizarren9} Bildern nicht faszinierend: die Rechenzeit. Wer hat schon Lust, seinen Computer f r Stunden oder gar f r Tage zu blockieren 9}? Das Programm FRACTAL EXPRESS schafft hier abhilfe: Es kann schon innerhalb von einigen Minuten interessante Bilder erzeugen9}, und Sie werden kaum jemals ein Bild l nger als 15 minuten berechnen lassen. Dar ber hinaus bietet FRACTAL EXPRESS anspreche9}nde 3D-Grafiken in 2 Grafikmodi.DIE MATHEMATIKDa FRACTAL EXPRESS mehr Mglichkeiten bietet als der mittlerweile recht 9}bekannte Apfelm nnchen-Algorithmus, kommt man nicht darum herum, etwas auf die mathematischen Grundlagen einzugehen.Der gru9}ndlegende Algorithmus beruht darauf, eine Folge von irreellen Zahlen zu erzeugen: Eine irreelle Zahl Z wird auf 0 initialisie9}rt. Dann wird die Rechenvorschrift Z:=Z0942+c(wobei c eine Festzulegende irreelle Konstante ist)so lan9}ge mit ihr durchgef hrt bis013- die L nge des zu Z gehrenden Vektors einen bestimmten 15Schwellwert berschreitet (Er 9}liegt im Programm bei 2). Dies ist der Normalfall. Das Ergebnis ist die Anzahl der Durchl ufe, die dazu notwendig waren.139}- die Anzahl der Durchl ufe einen festzulegenden Wert berschreitet, ohne da die 15regul re Abbruchsbedingung auftrat. Dies9}er Wert ist die Iterationstiefe.110Die zweite Abbruchbedingung stellt eine Art von Notbremse dar, denn es gibt Werte f r 9}c, f r die die erste Abbruchsbedingung niemals erreicht w rde; mit anderen Worten, die Folge konvergiert gegen einen endliche9}n Wert. Die Werte von c, f r die dies zutrifft, gehren zur sogenannten Mandelbrotmenge. Um so gr er die Iterationstiefe ist9}, desto n her kommt man der mathematischen Realit t.Die Apfelm nnchen-Bilder entstehen nun, indem dem Bildschirm ein bestim9}mter Ausschnitt aus der Ebene der irreellen Zahlen zugeordnet wird und f r jeden Pixel die Apfelm nnchen-Folge mit einem best9}immten Wert f r c durchgerechnet wird. Tritt die erste Abbruchsbedingung auf, so wird der Punkt in einer Farbe geplottet, die9} sich aus der Anzahl der Durchl ufe ergibt. Gehrt er jedoch zur Mandelbrotmenge, so wird der Punkt schwarz gelassen.Es ist9} allerdings auch mglich, das Ergebnis der 'Apfelm nnchenfunktion' als dritte Dimension zu interpretieren und als Hhe abzutr9}agen. Dabei ergeben sich faszinierende Gegirgslandschaften und realistisch anmutende 'Flu t ler'.Nat rlich kann man Z auch 9}auf andere Werte als 0 initialisieren. Dies erffnet ein neues Universum von Mustern.FRACTAL EXPRESS bietet wahlweise einen9} etwas modifizierten Algorithmus zur Bildberechnung: Hierbei wird c f r alle Bildpunkte der gleiche Wert zugeordnet, w hrend 9}es jetzt die Anfangswerte von Z sind, die mit den Bildschirmkoordinaten variieren. Dabei entstehen sogenannte Chaos-Grafiken,9} die jedoch nicht ganz so Variantenreich sind wie die Apfelm nnchen-Bilder.DIE GESCHWINDIGKEITUm es gleich vorweg zu ne9}hmen: FRACTAL EXPRESS ist etwa 55 mal schneller als ein entsprechendes BASIC-Programm. Wie es das macht ? Daf r gibt es vier 9}Gr nde: - Die Bildberechnung l uft in reiner Maschinensprache ab13- F r die Zahlen wird eine duale Festkommadarstellung9} verwendet; 15Festkommaberechnungen lassen sich mit wesentlich weniger Aufwand durchf hren als Flie kommaoperationen13- F9} r die Multiplikationen, die ja den Lwenanteil der Rechenzeit 15verbrauchen, wird ein sehr schneller Algorithmus verwendet.9}Er beruht darauf, da zuvor lange Listen angelegt werden, aus denen Teilergebnisse direkt hervorgehen.13- Die Genauigk9}eit ist nicht sehr gro ; es werden nur 2 Byte hinter 15dem Komma berechnet. Dies entspricht knapp 5 Dezimalstellen.10Hier9} das Ergebnis eines kleinen Geschwindigkeitsvergleichs:Berechnet worde ein vollst ndiges Apfelm nnchen in GRAPHICS 15 mit d9}en unter PRAKTISCHE TIPS angegebenen Parametern. (F r dieses Bild m ssen schon ber 1.2 Millionen Multiplikationen durchgef h9}rt werden) ATARI BASIC 7 Std. TURBOBASIC 2 Std. 16 Min. FRACTAL EXPRESS 79} Min. 46 Sek.DIE BEDIENUNGAus jeder aufgerufenen Funktion kehrt das programm wieder ins Hauptmenue zur ck (nach einem 9}Tastendruck, sofern es sinnvoll ist). Es folgt eine Beschreibung der einzelnen Menuepunkte:EINGABEDer alte Wert jedes ei9}nzugebenden Parameters wird am linken Bildschirmrand angezeigt. Soll er nicht ver ndert werden, so dr cken Sie einfach RETURN9}. Dies erlaubt es, einen Parameter zu ndern, ohne alle anderen neu eingeben zu m ssen. Alle Parameter sind vorbelegt. Werde9}n sie nicht ge ndert, so ergibt sich ein CHAOS-Bild, das den gesamten interessanten Bereich zeigt.Zun chst werden die Begren9}zungen des Ausschnitts aus der komplexen Ebene eingegeben. Die Bedeutung der Konstanten XC und YC h ngt vom verwendeten Reche9}nalgorithmus ab; bei der CHAOS-Grafik stehen sie f r die Komplexe Konstante c, w hrend sie beim Apfelm nnchen als Anfangswert9} von Z interpretiert werden. Um ein echtes Apfelm nnchen zu erhalten, m ssen beide 0 sein; andere Werte bieten jedoch Raum zu9}m experimentieren.Die Iterationstiefe bestimmt die maximale Anzahl der Schleifendurchl ufe f r einen Bildschirmpunkt. F r CH9}AOS-Grafiken ist 25 ein guter Wert, w hrend es beim Apfelm nnchen 100 sein sollte. Erlaubt sind Werte von 0 bis 255. Dann ist9} nur noch zu entscheiden, ob ein Apfelm nnchen oder eine Chaos-Grafik berechnet werden soll.RECHNENHier endlich beginnt 9}das Programm mit der eigentlichen Arbeit. Dabei wird das entstehende bild auf dem Bildschirm gezeigt. Mit einem Druck auf die9} Leertaste kann die Bildschirmausgabe abgeschaltet werden, was die Berechnung aus Hardwaregr nden etwa 30% schneller macht. E9}in weiterer Druck auf die Leertaste schaltet den Bildschirm wieder an. Mit ESC kann der Vorgang abgebrochen werden.Sobald di9}e Berechnung abgeschlossen ist, meldet sich der Computer mit einem akustischen Signal. Nach einem Tastendruck kehrt man ins H9}auptmenue zur ck, wo unter dem Menue die Rechenzeit angezeigt wird.SPEICHERNFalls Sie sich vertippt haben, dr cken Sie 9}einfach RETURN ohne vorherige Eingabe, um direkt wieder ins Hauptmenue zu gelangen. Ansonsten kann jeder g ltige Dateiname ve9}rwendet werden, ebenso Ger tebezeichnungen wie D8:APFEL.PIC (wenn eine entsprechende Ramdisk installiert ist) oder C: . Das B9}ild im Speicher wird im blichen 62-Sektoren-Format abgespeichert, an das die Parameter angeh ngt werden. So kann das berechn9}ete Bild mit Malprogrammen weiterbearbeitet werden. Es werden brigens immer die wirklich zum Bild gehrenden Parameter abges9}peichert; eine {nderung durch EINGABE oder ZOOM hat auf diese keinen Einflu .LADENL dt ein abgespeichertes Bild. Gleichz9}eitig werden die dazugehrenden Parameter wiederhergestellt.ZOOMMit ESC kann dise Funktion ohne weitere Auswirkung verla9}ssen werden. Mit Hilfe der Zoom-Funktion kann ein Ausschnitt aus einem vorher berechneten Bild ausgew hlt werden. Die Steueru9}ng erfolgt per Joystick. Dabei wird die linke obere und die rechte untere Ecke des ausschnitts mittels je eines Winkels marki9}ert; mit einem Knopfdruck wird die Steurung zwischen den beiden Winkeln umgeschaltet. Wenn die richtige Position gefunden ist9}, dr cken Sie START. Nur wenn das Bild im Vierfarbmodus 0 vorliegt und alle Ecken innerhalb der Grafik liegen, fragt das Prog9}ramm, ob der Ausschnitt eingerahmt werden soll. Wird diese Frage mit 'J' beantwortet, so ist noch die Nummer der Farbe (0-3) 9}anzugeben. In den meisten F llen ist die Hintergrundfarbe 0 zu empfehlen. Es wird der Bereich innerhalb der Umrandung berechn9}et, ausschlie lich der Umrandung selbst. Nat rlich arbeitet ZOOM nicht in den 3D-Modi.GRAFIK-MODUSFRACTAL EXPRESS bietet9} f nf Darstellungsarten zur Auswahl:0Modus Auflsung Farben Art 0 160 x 192 4 9} Ebene 1 80 x 192 16 Helligkeiten Ebene 2 320 x 192 2 3D-Raster9} 3 80 x 192 16 Helligkeiten 3D-Landschaft 4 320 x 192 2 Ebene1Je nach 9}dem gew hlten Modus m ssen verschiedene Darstellungsparameter festgelegt werden. F r Modi 0,1 und 4 fragt das Programm nach d9}er Anzahl der Zonen pro Farbe. Eine Zone ist eine Fl che, f r deren Punkte sich die gleiche Anzahl von Schleifendurchl ufen e9}rgibt. Standardm ig wird jeder Zone eine Farbe zugeordnet. Oftmals verh lt sich die Apfelm nnchenfunktion jedoch so unberech9}enbar, da in vielen Bereichen nur noch ein wildes Chaos von Punkten erkennbar ist. Um dies zu vermeiden, kann mehreren aufe9}inanderfolgenden Zonen die gleiche Farbe zugeordnet werden. Bei Apfelm nnchen-Grafiken erh lt man mit 5 Zonen pro Farbe gute 9}Bilder.F r Modus 2, ein dreidimensionales Raster in hochauflsender Grafik, wird einer Zone nicht eine Farbe, sondern ein H9}he in Pixel zugeordnet. Daher wird die Gesamthhe der Grafik in Pixel verlangt. Dieser Wert wird so umgerechnet, da sich die9} mglichen Werte der Apfelm nnchenfunktion von 0 bis zur maximalen Iterationstiefe auf die angegebene Hhe verteilen. Es kann9} also durchaus sein, da die Grafik diese Hhe tats chlich nicht erreicht, da in dem dargestellten Ausschnitt nicht alle denk9}baren Werte vorkommen.Es bleibt nur noch die Frage nach Berg oder Tal zu beantworten. Wird "Berge" gew hlt, so wird ein Erge9}bnis von 0 als unterstes Niveau dargestellt; die Mandelbrotmenge wird zu einem Hochplateau. Bei "T ler" wird das Bild in der 9}dritten Dimension "umgedreht", diesmal wird die 0 als Hchste Erhebung interpretiert.Bei Modus 3 kommt zu den beiden eben be9}schriebenen noch die Frage nach der gesamten Anzahl der Farbwechsel. Standardm ig liegt dieser Wert bei 15. Das bedeutet, da9} 15 Helligkeitswerte auf die gesamthhe des Bildes aufgeteilt werden. Dieser Wert sollte normalerweise nicht ge ndert werden9}. Eine {nderung ist nur dann sinnvoll, wenn im ausgew hlten Bereich nicht alle Werte von 0 bis zur maximalen Iterationstiefe 9}vorkommen. Dann mu er so gew hlt werden, da allein auf den sich ergebenden Bereich 15 Farbwechsel kommen; auf die Gesamthh9}e von 0 bis zur maximalen Iterationstiefe kommen also mehr als 15.BILD ZEIGEN (G,R)Diese Fuktion zeigt das gerade im Spe9}icher befindliche Bild. Mit der Taste 'G' lassen sich die in den 16-Farben-Modi 1 und 3 berechneten Bilder 'gl tten'. Dabei w9}ird jedem Punkt die Farbe zugewiesen, die sich als Durchschnitt seiner alten Farbe und der Farbe des Punktes dar ber ergibt. 9}Mit 'R' knnen die Farben rotiert werden, was nur in Modus 0 sinnvoll ist. Dadurch entsteht, besonders bei Chaos-Grafiken, ei9}n Bewegungseffekt. Mit jeder anderen Taste gelangt man zur ck ins Hauptmenue.DIRECTORYgibt das Inhaltsverzeichnis der Di9}skette aus.PARAMETER DRUCKENDiese Funktion gibt die momentanen Parameter auf einem Drucker aus. Falls das Bild schon ber9}echnet worden ist, wird auch die Rechenzeit angedruckt.AUSGEBEN PARAMETERDie gleichen Parameter wie bei PARAMETER DRUCKE9}N werden auf dem Bildschirm gezeigt.FARBWAHLFRACTAL EXPRESS stellt 6 Farbpaletten zur verf gung, die mit den Tasten 1 bi9}s 6 ausgew hlt werden knnen. Nicht jede Palette eignet sich f r jeden Grafikmodus: F r Modus 0 empfehlen sich Paletten 1-5, 9}f r die 16-Helligkeiten-Modi knnen alle verwendet werden, und f r den hochauflsenden Modus kann man zwischen 1,5 und 6 w hl9}en.EINIGE PRAKTISCHE TIPSWer eine Reise in das Reich der Mathematik unternehmen will, beginne am besten mit einer fris9}ch formatierten Diskette und Folgenden Apfelm nnchen-Parametern: linker Rand = -2.5 rechter Rand = 2.59} oberer Rand = -1.5 unterer Rand = 1.5 XC = 0 YC = 0 9} Iterationstiefe = 100 Modus 0, 5 Farben pro ZoneDas entsprechende Bild zeigt ein vollst ndiges Apfelm nnchen. Vo9}n dort aus kann man sich nun einen interessanten Bereich heraussuchen und sich immer weiter 'hineinzoomen'. Will man die Folg9}e der Bilder sp ter nachvollziehen, so speichert man die berechneten Bilder erst ab, wenn der n chste Ausschnitt mit der ZOOM9}-Funktion herausgesucht und umrahmt worden ist.Leider setzt die Rechengenauigkeit alsbald Grenzen. Bei einer Hhe oder Breit9}e von einer hundertstel Einheit zeigen sich in Modus 0 die ersten Ungenauigkeiten. Wenn Sie also den Ausschnitt jedesmal so w9} hlen, da die Ausdehnung jedes Bildes ein Viertel der Hhe und Breite des vorhergehenden betr gt, kommen Sie auf eine Folge 9}von 5 Bildern, bis die Grenzen der Rechengenauigkeit erreicht sind.HINWEISE ZUR EINGABEFRACTAL EXPRESS besteht aus eine9}m BASIC-Teil namens FRACTAL.BAS und einem Maschinensprache-teil FRACTAL.OBJ, der beim ersten Programmstart vom BASIC-Programm9} geladen wird.FRACTAL EXPRESS l uft nur auf einem ATARI 800XL und 130XE und auch nur unter ATARI BASIC, da wegen der oben er9}w hnten Multiplikationslisten der Speicherplatz 'unter' dem BASIC-ROM angesprochen werden mu .Bei der Eingabe von FRACTAL.BA9}S mu Zeile 20 als erste (au er den REM-Zeilen) eingegeben werden, wobei kein anderes Programm im Speicher sein darf. Wurde d9}ies vergessen, so kann man sich behelfen, indem man das Programm mit LIST abspeichert und nach einem NEW mit ENTER wieder ein9}liest. 9} 80